Matrizes e Determinantes
B.1 Matrizes
Uma matriz é um agregado de números, coeficientes ou
funções dispostos em linhas e colunas
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(B.1) |
os quais são designados por elementos da matriz e
representados por aij. Os índices i e
j indicam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento
aij se encontra na matriz.
Uma matriz com m linhas e n colunas é dita
rectangular de ordem (m*n), ao passo que uma matriz na qual m=n é
dita quadrada. Uma matriz com uma só coluna é designada por vector
coluna
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(B.2) |
e uma matriz com uma só linha é designada por vector
linha
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(B.3) |
As matrizes cujos elementos verificam a igualdade
aij=aji são designadas
por simétricas.
As matrizes da mesma ordem podem ser somadas ou subtraídas
elemento a elemento
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(B.4) |
operações que verificam seja a propriedade da
comutatividade
seja a da associatividade
| (A + B) + C = A + (B +
C) |
(B.6) |
O produto de matrizes só é possível nos casos em que estas
verificam a relação entre ordens
| C(m*n) = A(m*r) *
B(r*n) |
(B.7) |
isto é, a matriz A possui o mesmo número de colunas
que o número de linhas da matriz B, tendo a matriz produto,
C, um número de linhas e de colunas igual a, respectivamente, o
número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz
B. O produto de duas matrizes efectua-se de acordo com a seguinte
regra:
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(B.8) |
é equivalente a
| p = a11x +
a12y + a13z |
(B.9) |
| q = a21x +
a22y + a23z |
(B.10) |
| r = a31x +
a32y + a33z |
(B.11) |
B.2 Determinantes
Um determinante é um agregado de números, coeficientes ou
funções dispostos em linhas e colunas e é utilizado na resolução de
sistemas de equações,
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(B.12) |
Por exemplo, os determinantes das matrizes de ordem (2*2)
e (3*3) são dados por
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(B.13) |
e por
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(B.14) |
respectivamente. Em geral, a expressão do determinante de
uma matriz (n*n) é obtido a partir do cálculo dos cofactores e dos
menores. O menor mij é o determinante de uma
matriz à qual foram retiradas a linha i e a coluna j. Por
exemplo, no caso do determinante de uma matriz (3*3), os menores
m11, m12 e
m13 são dados por
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(B.15) |
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(B.16) |
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(B.17) |
respectivamente. Por outro lado, os cofactores
Cij são dados por
| Cij =
(-1)(i+j)mij |
(B.18) |
A regra de cálculo do determinante de uma matriz
(n*n) é
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(B.19) |
em que j é uma qualquer das n colunas da
matriz. Por exemplo, no caso de uma matriz (3*3)
| D = a11c11 +
a21c21 +
a31c31
= a11 (
a22a33 -
a32a23)(-1)2 +
a21(a12a33 -
a32a13)(-1)3 +
a31(a12a23 -
a22a13)(-1)4 |
(B.20) |
Um sistema de n equações a n
variáveis
| vs1 =
a11i1 +
a12i2 + . . . +
a1nin
vs2 =
a21i1 +
a22i2 + . . . +
a2nin
... ... ... ...
vsn =
an1i1 +
an2i2 + . . . +
annin |
(B.21) |
pode ser representado com base numa relação
matricial
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(B.22) |
As expressões das soluções ii do
sistema são dadas pela regra de Cramer
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(B.23) |
em que Di representa o
determinante da matriz quando a coluna i é substituída pelo vector
coluna [vs]. Por exemplo, considerando o caso
particular de um sistema de três equações, as soluções
i1, i2 e i3
são dadas por
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(B.24) |
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(B.25) |
 |
(B.26) |
respectivamente. | 
